在進行問卷分析或一些量化研究時，常會遇到一種資料處理的情形－『將一個連續值作分組的動作』，譬如說我們收集到受訪對象實際年齡的資料，但想做年齡層的分組，可能以每5歲或每10歲做一個級距分組，或是想依每組差不多的人數，將研究對象分成N組，此時最常用的就是重新編碼（Recode）。
重新編碼這個功能雖然可以精確的將數字依照自己的規則作轉換，且調整的彈性也較大，不過如果研究者若想嘗試許多種分組方式來得到不同的結果，或是這種分組的工作必須重覆執行，那麼SPSS所提供的Visual Binning功能將會為您節省蠻多時間，當然它還是有重新編碼功能做不到的地方。
所以我們可以得知，LMM廣受歡迎的最主要原因就是可以設定「隨機效果」（random effect），例如允許每一位個案的初始值（在我們這個例子中，就是前測分數）可以不同，換句話說，每個人的初始值具有變異性，我們可以從前測分數（β0i）的第二層迴歸係數中再拆解為3個項目，其中第3項的「μ0i」就是很關鍵的隨機效果，有這一項就代表我們允許前測分數（β0i）具有變異數，到時候統計報表會提供這個變異數的顯著性，此變異數的統計符號以「τ00」表示。
然而此時的「γ01」代表的是實驗組與對照組在前測的分數是否有顯著差異，也就是兩組前測分數的同質性檢驗，值得注意的是，雖然LMM是以兩層方程式來表示，但是在之前介紹的多因子變異數分析或GEE的方程式中也都有這個項目，只是LMM看起來會有一點不太一樣。另外一個不是很具有實務意義的就是「γ00」，它代表的是對照組的前測分數是否不同於0，一般不去解釋這個項目。
l 混合線性模式 (Linear mixed model, LMM)
目前為止，對於檢驗實驗介入成效的方法，我們已經知道非常多種方式，而在這其中目前又以GEE及現在即將要介紹的LMM蔚為主流，不過很有趣的是，這兩種方法皆克服了傳統統計方法（例如t-test, ANCOVA, ANOVA）的某些限制，因此才會廣受研究者的歡迎，但這兩種當代主流方法卻在「看待及處理」同一個個案的重複測量資料時，採用完全不同的角度，以下就讓我們開始介紹LMM。
在之前一篇「SPSS操作HLM教學」中提到一個關於資料處理的名詞「Aggregate」（整合），其主要的功能是在各群體之下，針對某一個變項去計算每個群體的統計量，實務上最常計算的統計量為平均數。
就我自己的經驗，這個功能常被用在具階層性（hierarchical）的資料，因為關於這種資料的研究，要時常在不同層次的單位下來進行分析，所以常會看到這樣研究裡的樣本數忽大忽小。就如同下圖，每五位教師都來自於同一個學校，假設有1,000位教師，對關於教師的變項進行分析時，那麼樣本數應該會有1,000個，但如果是對於學校的變項進行分析時，樣本數就會剩下200個了。
接著開始討論方程式多出的「CORR」此項目，稱之為工作相關矩陣（Working correlation matrix），這是GEE兩大特色之一，而這個工作相關矩陣就是GEE如何「看待」重複測量的精神所在，簡單地來說，工作相關矩陣允許同一受測者的不同時間點之間的依變項是具有相關的（正相關），例如前測分數越高者其後測分數通常也會高（反之亦然）。不僅如此，GEE的工作相關矩陣還可以選擇不同的相關類型，我們就先簡介幾種最常見的，包括獨立（independent）、未結構化（unstructured）、可交換（Exchangeable）以及AR1（Auto-regressive first order），如以下：
l 廣義估計方程式 (Generalized estimating equation, GEE)
關於實驗（介入）效果的檢驗，目前我們已經學習到了t檢定（獨立t與配對t）、差異中的差異分析（DID）、共變數分析（ANCOVA）以及多因子變異數分析（Multi-factorial ANOVA）。基本上這些方法都是至少在1950年代以前就發展完畢的工具，如果用Google scholar搜尋「Analysis of covariance」或「Analysis of variance」，發現從1930年代就有文獻在報導，而在1930到1980年代其間，其實上述這些方法在應用於實驗介入效果上並沒有太多的改變。
ANCOVA還有一個額外的好處，就是即使我們是隨機分組，但還是不能保證實驗組與對照組在前測分數及所有人口學變項都是同質的，或許實驗組還是比控制組有比較高或低的前測得分，而此時如果用獨立t檢定組別在後測的得分，可能會得到錯誤的結論。讓我們看一下下面這個例子，一開始實驗組就比對照組有較高的前測得分（70 vs. 60），而經過介入之後兩組都分別進步了20分，此時如果直接用獨立t檢定看兩組在後測的差異（90 vs. 80），會得到實驗組比對照組有更高的後測得分，進而宣稱這是實驗所造成的介入效果，很明顯地這個結論是錯誤的。而此時若我們是用DID分析，會發現兩組的進步幅度無顯著差異（都是20分），或者是用ANCOVA比較調整後後測分數也會發現其實是沒有組別差異，在這個例子中，DID或ANCOVA都可以得到相對正確的結論：介入無效。
l 單因子共變數分析（Analysis of covariance, ANCOVA）
在此之前，我們已經介紹了用獨立t檢定與配對t檢定以及DID用來檢驗介入的效果，也知道它們使用上的主要限制，接著我們要介紹任何領域上（例如教育、社會科學、醫學、護理）都很常見的共變異數分析（Analysis of covariance）。
在行為科學領域中（廣泛地來說，社會科學、醫學護理、運動體育、教育、管理等都可以算是行為科學）的研究，以「實驗介入」為主軸的研究不在少數，而之所以實驗介入型的研究會一直引領風騷，主要是因為如果想要證明「因果關係」，那麼實驗法目前為止各種研究方法中最為強韌的方法，其餘研究方法例如觀察法或質性研究，都無法像實驗法如此提供這麼直接的因果推論（Casual inference）的證據。
（11）為了讓Q為正值，建議將等級平均數叫大的那組擺前面，並算出兩兩事後比較的Q值
（12）開始查表，由於本例子的組別數為三組，因此並需看K=3那一列，如果算出來的Q值有大於2.394，則代表差值已達.05的顯著水準，若Q還有超過2.936，則代表差值已達.01的顯著水準。因此以本例所算出來的結果，得知第3組「教師兼行政」的教師素養顯著高於第1組「專任教師」與第2組「教師兼導師」，而「專任教師」與「教師兼導師」的教師素養則無明顯地差異存在。
之前在SAS教學文章中有提到當組別數在三組以上所做的差異檢定為Kruskal-Wallis one-way ANOVA，當分析達顯著時，我們必須進一步做事後比較，而且所採用的事後比較為Dunn法，因為此方法同時適用在組別人數相同與不同的時候，因此為較多人使用。
在舊版的SPSS中，Kruskal-Wallis分析並沒有提供事後比較，不過到了新一點的版本（應該是在19版之後）則有鑲在分析程式中，當然在讀這篇的您有可能仍是使用比較舊版的SPSS，因此本篇還是會介紹一下公式的計算。
（2）成對樣本t檢定（Paired sample t test）
我們可以利用成對樣本t檢定去探討實驗組的研究對象在前後測上有無明顯地改善，另外再去檢定對照組的研究對象在前後測上有無明顯地改變，如果實驗組有明顯地改善，而對照組的前後測無明顯地變化，或有退步，則代表介入是有效果的；或實驗組無明顯地改善，而對照組有明顯地退步，亦是代表有介入效果的（顯然這種介入是想讓實驗組的狀況維持在一個穩定程度）。此檢定方法常配合獨立樣本t檢定一起呈現來說明介入效果。
近年來在協助統計分析時，在醫護及教育領域蠻常遇到介入性研究（interventional study），每個研究者當然都會希望自己的介入是有明顯地效果，老實說若沒有介入效果，那整篇的貢獻度相對來說就會變得非常低，因此本篇將分享自己處理的經驗，希望能提供研究者更多的選擇。
介入性的研究又以2×2的型態最常出現，所謂2×2是指兩組前後測的實驗設計，其中一組實驗組有接受介入，另外一組對照組則不接入任何介入，在介入之前讓兩組先進行測驗（前測），接著在實驗組接受介入後，再對兩組測驗一次。
承上篇，我們將α跟power的定義作個總結，α就是「母群體不存在著性別差異，但我們的樣本資料發現顯著差異（p＜α）」，由於我們可能得到一個極小的p值（例如0.0001），我們此時會宣稱性別有所差異，這背後的邏輯是「如果母群體不存在著性別差異，那我們得到這種樣本資料（p＜0.0001）也太不可能了，所以我們認為母群體是有性別差異的」。
之前我們曾經提過樣本數（Sample size）計算的三個要素，首先是型一誤差（Type I error, α）、再者是型二誤差（Type II error, β），最後則是效果量（Effect size），可參見之前的文章。
探索性因素分析（Exploratory factor analysis, EFA）及驗證性因素分析（Confirmatory factor analysis, CFA）都是在編制量表的時候很重要的一環，這兩種取向都是在驗證「建構效度」（Construct validity），但大家可注意到，很多已發表的文章可能只採用EFA或CFA其中一種，或甚至是兩者皆採用，本文旨在根據我個人實務的諮詢及分析經驗，提供一些兩者使用時機點上的判斷，希望讓各位讀者未來對於要用EFA或CFA有比較清楚的定見。
（二）觀察性研究
在上篇文章中我們介紹了「比較兩組」的樣本數規劃，通常適用於作實驗設計或RCT的研究，但實際上很多研究是觀察性研究（或相關性研究），目標並非在比較特定組別之間的差異，而是在探討各變項與依變項的相關情形或預測情形，因此本篇文章將介紹以相關係數及線性迴歸分析為基礎的樣本數規劃。
之前有寫過一篇關於樣本數規劃的簡介文章，迴響還不錯，有蠻多朋友留言詢問問題，由於上次並未針對某種統計方法（或研究問題）介紹樣本數的事先規劃（planning sample size a priori），因此本篇文章旨在介紹幾種常用樣本數計算的時機點，由於篇幅的限制因此只介紹兩種類型，分別為比較兩組的差異（通常為實驗設計的研究）及相關性研究（或稱為觀察型研究，Observational study），將以下分別介紹。
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