巴斯卡三角形的應用 @ 晨晰統計部落格新站（統計、SPSS、BIG DATA討論園地）

前次在「救世主尼歐（Neo）逃生秘笈－巴斯卡三角形」一文中，談到巴斯卡三角形在棋盤式街道中前進路線的應用，想必對這個定理覺得好奇，這次再收集一些巴斯卡三角形的應用例子，讓大家可以再多些應用。

一、 二項式分配機率

巴斯卡三角形可以快速地提供二項式實驗的理論機率值，例如廟裏的茭杯，每個茭杯有正、反二面，當二個茭杯一同投擲，便有三種可能（陽陽、陽陰、陰陰）。理論上三種結果出現次數的比值是1:2:1，換算成機率便是0.25:0.50:0.25，其中分母是比值和。

這個比值很容易從巴斯卡三角形的第三列查到，並以條形圖表示：

但事情當然不只有這麼簡單，如果一次丟擲十個茭杯呢？出現的結果將是10陽0陰、9陽1陰、……、0陽10陰，如果以陽面次數為變項，同樣查巴斯卡三角形，則出現次數分配就會像下圖，呈現中間高二邊低的形狀，這是不是有點像常態分配呢？沒錯，當每個茭的陽陰機率相等時（皆為0.5），投擲茭杯支數愈多，陽面次數出現的比值或機率愈接近常態。所以巴斯卡三角形是二項分配的速查表，而當每次支數夠多時，巴斯卡三角形的分配也是常態的一個趨近表。

這在彈珠台實驗中也可以得到證明，我們假設彈珠在碰到每一根釘子時，向左與向右落下的機會是一樣的，依此原則一直往下掉落；是故，我們可以推得理論上彈珠掉落情形應和巴斯卡三角形理論，也就是所謂的常態分配的左右對稱圖形相同。在96年度高雄市國中資優教育學生獨立研究成果發表競賽中就有這樣一個作品，雖然彈珠檯製作尚待改進，但實驗結果已經很像常態了。

資料來源：當高斯遇到彈珠檯，高雄市96年度國中資優教育學生獨立研究成果發表競賽數學科作品，

一、 Kinetic theory and gas models氣體動力學模型

在物理領域中，為研究氣體分子的運動，加州大學伯克利分校根據氣體動力理論Kinetic molecular theory，設計了一種叫 “Hexstat概率設備(Hexstat probability device)”實驗器材，模擬氣體分子沈降的過程，將代表氣體分子的256個小鋼珠倒入如下圖裝置頂部，所有的球落入底部九列垂直柱的路徑，即是一個巴斯卡三角形的過程。最後在垂直柱底部形成一個鐘形曲線，因而形成類似常態機率曲線。無論多少次重複此過程，結果永遠是接似的。