筆者的同事在不久之前分享了如何以 R 軟體進行「Restricted cubic spline」（RCS），來處理變項之間的非線性關係（Non-linear relationship），有興趣的讀者可至 https://reurl.cc/R6OEqG 以及 https://reurl.cc/2b8yjm 查看全文。本篇文章筆者由概念原理出發，說明 RCS 的數學公式、優勢、劣勢與使用的注意事項。
一、直線關係（Linear relationship）
近些年來，在醫學雜誌對於 RCS 的使用已是非常普遍，因為在醫學領域，其實很少存在著真正的「線性關係」。舉例來說，假使結果變項是血壓（連續變項），而自變項是年齡（也是連續變項），如果得到一個迴歸係數的值是 1.2 來說，代表當年齡增加一歲則模式預測的血壓會增加 1.2 個單位（mmHg），當年齡增加 10 歲則血壓會被預測增加 12 mmHg。
然而在生物學的機制來說，不太可能存在著真正的直線關係，就算「年齡越大則血壓越高」的機制確實存在，但從下圖可知，左上方的收縮壓（Systolic）那條線來看，大約 70 歲之前的關係比較接近直線，但在 75-80 歲之後變成是比較陡峭的上升，代表血壓會在 75-80 歲之後隨著年齡越老而有比較大幅度的上升。
（圖片來源：Hypertension; Volume 60, Issue 1, July 2012, Pages 25-33）
假設兩個變項之間並非呈現直線關係，但我們卻假設它們是直線關係，那麼模式的契合度（Goodness of fit）會比較差，例如在線性迴歸中（結果變項為連續型）是以 R2 作為解釋力的指標，在羅吉斯迴歸中則是以校準（Calibration）與區別（Discrimination）等指標也會表現的比較差。
二、重新分組為類別變項（Categorization）
另外在實務上很常將該連續變項重新分組為類別變項，例如年齡層區分為<20, 20-39, 40-59, 60-79, 80-99 歲等分組方式，或是純粹以等分人數的方式來分組，譬如三分法（Tertile）、四分法（Quartile）、五分法（Quintile）或甚至是十分法（Decile）。
但這種作法的最大問題有二，第一是假設同一個次群體（例如60-79 歲）的結果變項都一樣，但事實上 60 歲與 79 歲的血壓其實也具有不小的差異，這會造成模式契合度不佳。如下圖所示，同一個垂直高度的紅點就是被強迫歸類到同一個次群體的 X 值，此時在模式的計算上，這些紅點的 Y 值都被必須假設是一樣的值 ，其實非常的不符合真實情形，因此單純將連續變項簡化為類別變項，會嚴重地損失連續變項的資訊。
（圖片來源：https://www.twblogs.net/a/5d190005bd9eee1e5c82de44）
第二，在不同次群體的銜接點上（例如 40-59歲 vs. 60-79歲）會出現跳躍點（Step function），如下圖所示，而在這銜接點的模式擬合（Fitting）的表現會比較差。這一點也是會造成整個模式的解釋力降低，進而可能得到相對不準確的估計結果。
（圖片來源：https://reurl.cc/V3RQgY）
此時可以採取一個比較極端的策略，就是既然分成太少的類別變項會損失連續變數的資訊，那不如將該連續變項分成很多組，例如將年齡用每 2 歲分組（20-21, 22-23, 24-25, …, 80-81, 82-83…），那不就不會損失資訊了？當樣本數極大的時候，例如數萬甚至數百萬時，這可能在統計上是可執行的（但沒人會這麼做）。但在較小樣本的時候，這種作法則是不可行，會造成模式有過度契合（Over-fitting）的情形，因為如果年齡被分成 40 組，那麼在模式中會用到 39 個自由度（39 個 1/0 的虛擬變項）。另外就是迴歸係數的結果也會很難解釋，因為會有 39 個迴歸係數，實務上很難應用這個迴歸的結果。
三、傳統的非線性關係
然而在許久之前，就已經有非線性關係的處理方式，到目前為止應該還會在醫學雜誌看到使用這些方法。最簡單的就是直接加上平方項/二次項（Quadratic）或是三次項（Cubic），一般這種大於兩次項的迴歸又稱為多項式（Polynomial）迴歸。以上述的年齡與血壓的關係，就是在方程式中除了放原本的年齡（線性關係），再放二次項（age2）及三次項（age3）。
這種作法確實很大程度上可以讓迴歸預測線變成更平滑（Smooth），但也存在著缺陷。最主要是這種非線性關係雖然平滑，但卻不具有彈性（Flexible），以二次項來說，它僅限制著四種關係（如下圖）。假使我們收集資料的 X 與 Y 不是這麼符合這四種形狀的關係，也很有可能會得到一個不佳的模式契合度。
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