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六、如何決定軌跡的形狀與數量（Andruff’s tutorial）

在 2009 年時，Heather Andruff 發表了一篇非常清楚的 GBTM 教學文章，裡頭也是使用 Bobby Jones 撰寫的 SAS procedure 進行示範³。在該文章中，Andruff 提出了他們的實務經驗操作流程，主要有兩個重點。第一，應該要剔除模式中不顯著的二次方項或三次方項，一次方項（線性效果）則無論顯著與否都應該保留；第二，每一個軌跡組別最好要有至少包括 5% 的人數。

在他們的示範例子中，假設是 3 次的重複測量，那麼會先從「1 個 2 次方的軌跡組別」的模式開始（模式代號為「2」），如果該模式的 2 次方未達顯著，那麼就再重新配適一個「1 個 1 次方的軌跡組別」的模式（模式代號為「1」）。

接著執行「2 個 2 次方的軌跡組別」的模式（模式代號為「2 2」），此時再看是否兩個軌跡組別的平方項都達顯著，假設只有第一個軌跡組別顯著，那麼再重新配適「第一個軌跡組別為 2 次方，第二個軌跡組別為 1次方」（模式代號「2 1」）；若兩個軌跡組別的平方項都顯著，那就用「2 2」模式跟前述只有一個軌跡組別的模式比較（跟「1」比，因為該例子中的「2」的平方項沒有達顯著）。

在該例子中，兩個軌跡組別的平方項都顯著，且「2 2」模型減「1」模型的 ΔBIC >10，因此表示有強烈證據偏好較為複雜的模型「2 2」。接著繼續進行「3 個 2 次方的軌跡組別」的模式（模式代號為「2 2 2」），然後發現第二個軌跡組別的二次方項未達顯著，因此重新配置「2 1 2」模型，並與「2 2」模型比較 BIC，結果顯示有強烈證據偏好較為複雜的模型「2 1 2」。最後再進行四個軌跡組別的配適，並刪除未達顯著的平方項，結果跟「2 1 2」比較的 ΔBIC 反而是負值，代表分四組反而會得到比較差的配適結果，因此最後就選擇「2 1 2」的模型。

在 Andruff 的文章中，並沒有示範當重複測量筆數大於四次時，要如何進行模式的選擇。不過讀者可以自行揣測，「1 個 3 次方的軌跡組別」的模式（模式代號為「3」）開始，不過記得如果 3 次方項達顯著的時候，此時不需理會 2 次方項是否顯著；而 3 次方項若不顯著時，此時不管 2 次方是否顯著，都應該重新執行一個「1 個 2 次方的軌跡組別」的模式（模式代號為「2」）。

七、如何決定軌跡的形狀與數量（筆者的實務經驗）

由於文獻中並沒有標準作法，因此筆者從過去的實務經驗中，也發展出一套作法。無論重複測量是 3 次或 4 次，筆者都會從「1 1」以及「1 1 1」模型開始比較，在此以 3 次的重複測量為例。如果「1 1 1」沒有比「1 1」更好（ΔBIC 沒有 >10 的話），那麼就不再考慮三個或以上的軌跡組別，而停留在兩個軌跡組別之下測試不同的形狀。

假設「1 1 1」沒有比「1 1」更好，接著比較「1 2」跟「2 1」是否比「1 1」更好，如果沒有更好，那最後就是採用「1 1」的結果；如果「1 2」或「2 1」比「1 1」更好，那就比較「2 2」沒有比「1 2」或「2 1」更好，到此就可以決定在兩組情況之下的形狀。

假設「1 1 1」比「1 1」更好，那麼就比較「1 1 1 1」是否比「1 1 1」更好，倘若沒有，則開始比較「2 1 1」、「1 2 1」與「1 1 2」是否比「1 1 1」更好，如果都沒有比較好，那最後就是選擇「1 1 1」；如果其中有一個或多個比較好，那就開始比較「2 2 1」、「2 1 2」跟「2 2 1」是否比較好，若沒有就停留在前一個步驟，若有比較好則繼續進行「2 2 2」與前者的比較。

如果「1 1 1 1」比「1 1 1」更好，那就開始比較「2 1 1 1」、「1 2 1 1」、「1 1 2 1」與「1 1 1 2」是否比「1 1 1 1」更好，假定都沒有比較好，最後就選擇「1 1 1 1 」；如果有比較好，舉例來說發現「2 1 1 1」比較好，那就再繼續往下進行「2 2 1 1」、「2 1 2 1」與「2 1 1 2」的比較，若沒有較好就停住，若有較好則繼續往下，例如「2 2 1 1」又比「2 1 1 1」好，那就繼續比較「2 2 2 1」跟「2 2 1 2」是否比「2 2 1 1」好，若沒有較好就停住，若有較好則最後再跟「2 2 2 2」比較。

無論是根據 Andruff 的示範或是筆者的實務作法，每一個步驟都要注意兩個原則，首先是如果某一個模型的某一組（或多組）的 Group membership（大致等於個案數）小於一個比例（3％、5％或10％，研究人員可事先自行定義，並在文章中清楚說明），那麼即使較為複雜的模式有比較好的表現，但如果有小於一定比例的軌跡組別出現，我們會選擇前面一步的較為簡單的模型。

在 Andruff 的文章中，有建議每個軌跡最理想可以至少有5％的個案比例，但在他們的範例文章中，最後選擇的模式，其中有一個軌跡分組其實也只有3.4％的 Group membership。筆者建議這個比例可按照總樣本數而調整，如果樣本數很小（例如 100 人），那麼建議至少要設 10％；若樣本數很大（例如 1000 人），那麼即使只設定 3％，也包含了至少 30 人，而在實務上確實可能出現佔整體樣本很小比例但很具有臨床意義的分組。

八、小結

上述內容就是 GBTM 的介紹，Nagin 在 2010 年發表了一篇回顧文章，充分說明以及比較另外一個替代模型（Growth mixture model, GMM），非常建議讀者可以參考⁴。另外 GBTM 也可以同時針對兩個非獨立的結果變項（例如血壓與脈搏）進行聯合估計，目前撰寫的 SAS procedure 可以處理⁵。之後筆者也會實際示範一個真正的實作例子，以讓讀者更能夠實際操作。

參考文獻

1.Nagin DS. Analyzing developmental trajectories: a semiparametric, group-based approach. Psychological methods. 1999;4(2):139.
2.Jones BL, Nagin DS, Roeder K. A SAS procedure based on mixture models for estimating developmental trajectories. Sociological methods & research. 2001;29(3):374-393.
3.Andruff H, Carraro N, Thompson A, Gaudreau P, Louvet B. Latent class growth modelling: a tutorial. Tutorials in Quantitative Methods for Psychology. 2009;5(1):11-24.
4.Nagin DS, Odgers CL. Group-based trajectory modeling in clinical research. Annual review of clinical psychology. 2010;6:109-138.
5.Nagin DS, Tremblay RE. Analyzing developmental trajectories of distinct but related behaviors: a group-based method. Psychological methods. 2001;6(1):18.