l   混合線性模式 (Linear mixed model, LMM)

目前為止,對於檢驗實驗介入成效的方法,我們已經知道非常多種方式,而在這其中目前又以GEE及現在即將要介紹的LMM蔚為主流,不過很有趣的是,這兩種方法皆克服了傳統統計方法(例如t-test, ANCOVA, ANOVA)的某些限制,因此才會廣受研究者的歡迎,但這兩種當代主流方法卻在「看待及處理」同一個個案的重複測量資料時,採用完全不同的角度,以下就讓我們開始介紹LMM

LMM全名為混合線性模式(Linear mixed model)或稱為Mixed effect model,不過它在各個領域有不同的名稱,在生物統計領域習慣稱作LMM,在應用統計領域則常被稱為多層次模型或多層次迴歸(Multilevel model / Multilevel regression),但在教育或心理領域則常以階層線性模型(Hierarchical linear modeling, HLM)稱呼它,而在經濟或財金領域最可能稱之隨機效果模式(Random effect model),不過無論如何稱呼,其背後的原理大致是差不多的。

為了簡化,我們仍然以2×2的設計來討論,也就是組別為實驗組與對照組,測驗的時間點只有前測與後測,此時LMM若以迴歸方程式來表示,如以下所示:

 

 

 

 

A1

各位讀者可以從很多的HLM/LMM教科書發現,在說明LMM的方程式時,常用這種「多層次」的方式來教學,其實並不是一定要用這樣來呈現,但是若不拆成這種格式呈現,大多數非統計背景的讀者是不容易理解的。

讓我們先看一下圖8LMM在看待同一位個案的多次資料點,是以「鑲套或鑲嵌」(nested)的方式來看待,此時重複測量資料點是巢套在個人之下。讓我們再回到第一層方程式,「β1」代表的是時間的效果(因為x2是時間),可以說時間每增加一個單位則Y增加多少個單位,不過由於我們現在的例子是只有2個時間點,因此就是後測(1)減前測(0)的差值。

但是眼尖的讀者是否有看到迴歸係數為「β1i」而非「β1」,很重要的是,這個「i」事關重大,可以說是LMM的核心概念,「i」代表的是第k位個案,若k等於100i就介於1100β1i代表的是「每一位個案都有自己的一條線」,統計術語是每一位個案的時間趨勢(線性效果)被允許可以不同。但讀者可能會納悶,每一個個案都有自己的成長趨勢,這不是很合理嗎?是的,確實是非常合理,但問題是傳統統計方法只能假設/強迫每一位個案的成長趨勢是相同的,而LMM就是可以突破這個假設,此為LMM受歡迎的主要原因之一。

 

A2  

 

然而除了時間趨勢(線性效果)可以隨個案而改變之外,大家可以注意到連截距項(intercept)也有下標i,因此「β0i」代表的是當x20的時候(注意我們的編碼方式,x2 = 0代表是前測),此時Y等於多少,也就是說「β0i」就是第i位個案的前測分數,而下標i表示LMM可以允許每一位個案的前測分數是不一樣的,相同的傳統統計方法只能假設/強迫每一位個案的截距項是相同的

(續)

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