隨機存活森林概述－晨晰統計部落格新站（統計、SPSS、BIG DATA討論園地）

一、緣起：

隨機存活森林（Random Survival Forest，RSF）是一種基於決策樹的集成學習方法，特別適用於分析和預測存活數據。存活數據（Survival Data）是指在研究對象隨時間的變化過程中，記錄其存活或事件發生的情況。這類數據常見於醫學研究中，如病人的生存時間分析、疾病復發風險評估等。

隨機存活森林的基本原理源於隨機森林（Random Forest，RF），其核心思想是通過構建多棵決策樹來進行預測和分類。每棵決策樹都是在不同的數據子集和特徵子集上訓練的，這樣可以降低模型的過擬合風險，提升預測的穩定性和準確性。在隨機存活森林中，每棵決策樹都會對存活數據進行分析，最終通過集成這些決策樹的結果來進行預測。

隨機存活森林的發展歷史可以追溯到20世紀80年代，當時統計學家開始探索使用決策樹方法來分析存活數據。然而，單棵決策樹在處理高維度數據和複雜關係時，往往表現不佳，易於過擬合。為了解決這一問題，Leo Breiman等人提出了隨機森林的方法，並在2008年，由Ishwaran和Kogalur引入了隨機存活森林，將其應用於存活數據分析。

二、RSF的步驟：

隨機存活森林的優勢在於其能夠處理高維度數據、捕捉複雜的非線性關係以及對缺失數據的穩健性(Robustness)。此外，隨機存活森林還具備自動化特徵選擇的功能，通過分析每個特徵對預測結果的貢獻(例如：Variable importance, VIMP) ，幫助研究人員識別重要的影響因子。

在實際應用中，隨機存活森林的構建過程通常包括以下幾個步驟：

1. 數據預處理：包括數據清理、缺失值處理、數據標準化等。

2. 樣本選擇：通過引入隨機性，從原始數據集中隨機抽取多個子集。

3. 特徵選擇：在每個子集中，隨機選擇一部分特徵進行分析。

4. 決策樹構建：基於選定的樣本和特徵，構建多棵決策樹。

5. 結果集成：將所有決策樹的預測結果進行集成，得出最終的預測結果。

三、RSF的理論基礎與數學模型：

隨機存活森林的理論基礎涉及多個統計學和機器學習的核心概念。理解這些理論基礎有助於我們更好地應用隨機存活森林技術，並對其性能進行有效評估。隨機存活森林的數學模型主要基於生存分析中的Cox比例風險模型（Cox Proportional Hazards Model）和決策樹模型。

3.1 Cox比例風險模型：

Cox比例風險模型是一種半參數模型，用於分析存活數據中的風險比（Hazard Ratio）。該模型假設風險比是時間的函數，但其影響因素（特徵變量）對風險比的影響是恆定的。Cox模型的數學表達式為：

其中h(t|X)表示在時間t後，具有特徵變量X的對象風險比，h₀(t) 是基準風險函數，XB是特徵變量 X與參數B的線性組合。Cox比例風險模型在處理高維度數據和非線性關係時，往往表現不佳。因此，隨機存活森林通過結合Cox模型和決策樹方法，克服了這些局限性。

3.2 決策樹模型：

決策樹是一種樹狀結構的模型，用於進行分類和迴歸分析。在存活分析中，決策樹通過不斷劃分數據集，來最大化每個節點的純度（即最小化節點內的異質性）。在隨機存活森林中，每棵決策樹都是基於存活數據構建的，並且每個節點的劃分標準是基於存活時間和事件發生的情況。隨機存活森林中的每棵決策樹都是使用Bootstrap樣本（自助法樣本）構建的，即從原始數據集中隨機抽取一個樣本子集，並且這個過程中允許重複抽樣。這樣可以保證每棵樹的訓練數據都是不同的，從而提升模型的穩定性和泛化能力。

3.3 隨機存活森林的數學表達：

隨機存活森林的數學模型可以表示為多棵決策樹的集成，其中每棵決策樹都是基於Bootstrap樣本構建的。對於每一個輸入樣本 x，隨機存活森林的預測結果是所有決策樹預測結果的平均值。具體來說，對於 B棵決策樹，隨機存活森林的預測結果f^(x)可以表示為：