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筆者之前在網路上看到一篇新聞，內容大約是說我們國家的小學生數學平均

成績在國際上名列前茅，但是喜愛數學的程度與對數學的自信心卻是吊車尾

。由於筆者十分關心統計教育方面的議題，於是仔細的往下看，有許多專家

學者紛紛提出自己的看法：『國外學者認為這是文化造成的，可能東方文化

是謙虛的，再加上學得好都要花很多力氣，過程不見得都是快樂的』、『台

灣有綿密的考試，就是一種特殊的文化，會使學生興趣和信心比較低落；很

多國家在小學是沒有考試的』、『台灣高中以下的課綱、教材，幾年來不斷

改革，但教法卻不變，是「傳統式教學」，為考試反覆練習、機械式解題，

學生沒有探索的空間，以及親近數學、科學等的樂趣』、『國外教學強調引

導學生探索及興趣，做數學也允許犯錯，興趣可以持久，台灣則不然，要求

算數學一出手就做對，教法應該要改』，主要把問題歸因為三點，文化、考

試與教育方法，文化與考試可想而知是無法短時間改變的，所以教學方法的

探討相對比較具有建設性，筆者深入研究了一下，又在網路上翻出一篇文章

，在這邊摘錄並且與大家分享。

這篇具有意義的文章『從美國「數學戰爭」看台灣的數學教育』作者是 劉柏

宏 老師，因為全文頗長，下面雙引號的部份為該文章摘錄。

『台灣近一兩年來社會各界對九年一貫課程有頗多的爭議, 尤其是建構式數

學的教學理念更引起大學數學教授與家長的關心與擔憂。建構主義強調推理

能力的養成與學生自我建構知識，其中教師的角色已不是知識的傳遞者，而

是協助學生建構知識的引導者。數學教學的重點不再是計算能力的養成而是

強調概念理解，因此教材的內容不若以往具有操作深度。數學家與家長擔心

教材的淺化將同時弱化學生數理能力，甚至更進一步影響未來其個人生涯發

展與國家的競爭力。』

這篇文章主要目的是為了解決台灣本身數學教育的一些爭議，因此希望借鏡

美國數學教育的經驗給我們當做參考，這幾年建構式數學的確把大家搞的昏

天暗地的，並不是批評這理念不好，而是落實到第一線的教育人員來說，的

確是不容易去做到（筆者有認識一些小學老師，聽過一些他們對這種教學法

的批評），應該是整體政策的配套沒有思考清楚。不過筆者提出一個假設性

的問題大家一起想一想，萬一學習的「樂趣」跟「成效」一定得是相反的，

大家會選哪一個呢？

【數學戰爭的背景】

『1989年，美國這波數學課程改革的走向深受當時新興的知識建構論的影響

，教學過程強調學生才是學習的主體，唯有學生從自身經驗中所建構出的知

識，才能有助於培養其解決問題的能力，才是有意義的學習。而這次NCTM（

推行這波改革的機構）所提出的標準可說是「數學戰爭」的起因。不過之後

他們發現接受新課程後，學生的基本計算能力似乎出了問題，由於內容偏重

教學法卻忽略數學知識內容而招致許多批評，於是修改課程綱要的呼聲又起

。一些專業數學家卻無法認同新課程標準的內容，其主要理由是學術標準委

員會的課程綱要過份強調概念理解卻嚴重忽略學生數學計算能力的養成。』

一派支持建構學習，一派認為數學知識本身比較重要，這就是美國的數學戰

爭，和台灣目前的爭議也差不多。注重教學法表示要受教育的人應該是教數

學的老師，老師先受「如何教數學」的教育之後，才有辦法去推廣這樣的學

習方式，只是不知道當時是否有在這一塊做足功夫。筆者個人的淺見是：學

生自主建構的學習這樣的概念是對的，但是應用在哪個層次是有待思考的，

1+1＝2有需要自主建構嗎？還是認識數學邏輯才需要自主建構？這是層次上

的問題，應該不是對或錯的問題。

【專業數學家的批評】

『專業數學家卻認為不能輕忽數學運算的重要性，因為如果缺乏足夠的運思

練習，要達到真正的概念理解是不可能的。2000年 一月四日 華爾街日報一篇

社論也將NCTM的課程改革與60年代的「新數學」相提並論，批評兩者都把紙

筆計算鄙視為只是一種機械式訓練。社論中強調，貶低計算的結果將關閉學

生學習代數的大門，也將關閉學生畢業後成為工程師與科學家的大門。NCTM

的改革課程的一個特色是重視學生小組討論，透過同儕溝通以發展自我解題

策略，教室氣氛也因此變得活潑，數學不再只是死板版的運算過程。然而如

同1997年8月25日 《時代雜誌》的一篇文章所說的:突然數學變成好玩的遊戲

，可是孩子真的學到任何東西嗎?』

這一段裡面筆者比較不解的部份是聽起來NCTM的改革課程很不錯阿，但是有

必要去鄙視紙筆計算這些基礎數學知識嗎？至少從文章中看不出來有不可以

並行的可能性（或許真的要去第一線教書才知道吧）。這裡提出另一個議題

供大家思考，數學學習的過程是否是一種量變，而量變累積到一定的階段會

產生質變呢?白話一點翻譯就是，機械的學習數學基礎，學習到一定的量之

後，我們會突然對數學的思考產生變化，可以用不同的觀點看待原本機械的

部份？如果是這樣，傳統數學家是對的。但是如果學習數學從頭到尾都是一

種質變得過程，那就不得不正視建構主義提出來的觀點了。筆者沒有結論，

只是討論。

【數學教育學者對專業數學家批評的回應】

『數學戰爭雙方最主要的爭議點為究竟是須具備純熟的數學運算練習才能引

出真正概念理解，或者是須先理解數學概念才能進行有意義的數學運算。

Sowder根據心理學理論(Hatana,1988)指出基本上專業知識分為兩種:一種是

程序型專業知識，一種是適調型專業知識。程序型專業知識可藉由不斷的反

覆操作與練習得到, 在某些方面這樣的數學訓練是必要的。而適調型專業知

識則需要瞭解基本原理, 與如何適當地調整所具備的知識以適合新問題的限

制條件。反對改革課程的團體顯然強調訓練程序型專業知識的重要,贊成改

革課程的團體則重視適調型專業知識的培養。』

這裡的探討進入心理學的領域，好險筆者對心理學略有了解，不然就看不懂

了。根據心理學來說，人的學習與記憶的確分作不同的形態，不可以一概而

論。生活中比較注意細節的人應該會發現，有些人對事件記憶很好，有些人

對音樂記憶很好，但是這是分屬不同腦區控管，所以前者的能力和後者未必

有關聯。根據這樣的看法又呼應筆者一開始說的層次問題，並非不要建構式

學習，而是所應用的層次該是哪一種，層次應用對了，效果自然會出來。

『教育學者舉一例以說明兩種專業知識在數學解題的應用:「Fred和Frank一

起從A地出發到B地，Fred有一半的路用跑的，一半的路用走的;而Frank有一

半的時間用跑的，一半的時間用走的。假設兩人走的速度與跑的速度都一樣

，誰會先到達終點?」Sowder曾將這個題目交給一些修讀中學數學教育學程

的學生做答，她發現一部份學生立即運用其程序型專業知識處理：「設定變

數，列出方程式，解方程式」。而另一部份學生則先思考問題的重點，並進

行下列推理:「Fred有一半的路用跑的，一半的路用走的，他跑的時間比走的

時間短。而Frank有一半的時間用跑的，一半的時間用走的，他跑的時間比

Fred長，因此Frank會先到達終點」。這就是適調型專業知識的運用。』

看完這一段你是否如同筆者一樣感覺緊張呢？因為自己已經不自覺的在列聯

立方程式了，可見受到傳統數學教育的影響有多深。我們都不必先思考了，

拿起紙筆想直接計算。不過仔細量一下，發現緊張的太早了，這個舉例有一

個隱藏的陷阱，當然他只是為了舉例方便並非有其他的心機。陷阱在哪邊呢

？如果數學的問題都是判斷題那當然OK，應用我們的推理能力是自然而然，

但是數學問題通常都是計算題，也就是說他不會只問你誰比較快到，而是問

你快多少，要花多少時間，所以不計算可以嗎？只靠判斷是可以得到一個大

概的結論，一定得計算才有精確的結果。在思考一下，精密的科學能不要有

精確的數據嗎？能只是概念判斷題嗎？所以，還是列方程式好了，比較省時

！

『建構主義經常被誤解為主張學生應該自己發展出解題策略，老師不宜過度

介入。實際上，Roitman認為建構主義並不排斥老師的授課，它主要是一種知

識論的信念，認為知識是主動建構的結果，而非被動接受的產物。』

也許是數學改革者過度解釋建構主義的學習方式，導致產生許多的爭議。在

心理學的學習理論裡面，有一個理論叫做「鷹架理論」，這個理論的大概意

思是：在學習初期要建立好的學習鷹架（結構），這樣對未來的學習發展很

有幫助。根據這個理論來看，老師不介入而讓學生自由發展，會發展出最好

的鷹架嗎？如果是的話，每一個學生都可以去當教育家了。筆者淺見還是覺

得要由教育專家設計出一套好的學習鷹架，讓學生按步學習，當然在學習的

過程中，學生能自己發展出獨特的方式或觀點，老師予以鼓勵或指導，不加

以打壓，這樣就算協調了。

【數學家與數學教育家之間的差異】

『Steen(1999)即指出數學教育學者心中的數學與數學家心中的數學確實有

些不同。另外Roberta Mura於1993年與1995年(Mura,1993;1995)分別研究

了103位大學數學教授與51位大學數學教育研究者對數學的定義時發現，雖

然在一些根本概念上兩者看法一致，但是相對於大學數學教授，大學數學教

育研究者較傾向認為數學是一種歸納式思考，是一種問題解決，是一種尋找

模式的科學。而比起大學數學教育研究者，大學數學教授則有相當高的比例

(38.8%)迴避這個問題。有趣的一點是，沒有任何一位數學教育研究者認為

數學是一種真理;相對的，沒有任何一位數學教授認為數學發展會受文化影

響。』

有看出兩者之間的差別了嗎？至少筆者可以確定，絕大多數人都不會是數學

家，所以數學家的觀點相對而言只能參考。數學對大多數人而言是應用第一

，所以教育的方針是否也該以這為方向呢？真理是相對的，我們只能在不斷

摸索的同時，步步接近它。

【結語】

說了一整篇都在談數學教育，那統計教育呢？當然統計教育是數學教育的一

環，該怎麼教數學也就該怎麼教統計阿。統計的基礎運算與知識很重要，但

是引導人們如何思維統計也是很重要，就整體統計教育而言是不可偏廢。不

過晨晰統計的教育重心在於成人統計教育，並且重要目標是要做統計的推廣

，所以基礎運算與知識會著墨較少，那些留給大學教授去講吧。我們要教的

統計是引導式的統計，引導一種統計的思維方式而不是計算方式，所以晨晰

的教學偏向樂趣教學，偏向實例說明，偏向了解應用時機。我們希望更多人

知道統計，應用統計，喜歡統計，所以會把統計最美好的部份呈現給大眾。

苦澀的部份呢？有興趣可以跟我們私下深入討論，這就是晨晰的統計教育理

念。