事實上調節變項在迴歸分析的作法並不複雜,承上例以性別為調節變項的例子,迴歸方程式就如下這樣:
減肥行為 = 截距項 + a × 減肥知識 + b × 性別 + c × (性別×減肥知識) + 殘差
這個時候「性別×減肥知識」就叫作交互作用項(interaction term),如果在迴歸方程式中的迴歸係數c達顯著水準,這個時候就代表調節效果獲得證實,所以表示男性的迴歸係數(βc男性)與女性(βc女性)的迴歸係數顯著的不同,通常期刊文章上的作法是直接畫圖表示,如圖3所示,男性與女性各別會有一條迴歸線,交互作用項達顯著就表示在統計上這兩條迴歸係數的斜率(slope)有顯著的不同,因此結論應該下:「就女性而言,減肥知識對減肥行為的影響效果比男性還要強」。
截至目前為止我們已經知道調節變項在迴歸分析的檢驗方式,但是有兩點細節很重要,因此不可忽略:
(一)平減:眼尖的讀者應該有發現,我在圖2的減肥知識下面寫了一個「平減處理」(centering),這個在調節變項的檢驗是最重要的事前處理程序,由於交互作用項是由自變項與調節變項相乘得出的,因此會出現所謂的「共線性」(Multi-Collinearity)問題,亦即自變項、調節變項及交互作用項之間會有高度相關,因此Aiken等人提出以置中平減(mean-centering)的方式解決共線性的問題,簡單來說就是必須先將連續變項(不管是自變項或調節變項)都先減掉本身平均數(置中平減),然後才將交互作用項相乘得出,也就是說將置中平減後的連續變項跟交互作用項放到迴歸方程式就可以解決共線性的問題,而且迴歸係數的數值並不會改變,會改變的僅有截距項及迴歸係數顯著性,平減的方式除了置中平減外,還有殘差平減法跟標準化平減法,有興趣鑽研的讀者可參閱Aiken等人(1991)專書及Jaccard等人(1990)的文章。(我想上統計課程)
(二)單純效果(事後比較):事實上以一般線性模式(GLM)的觀點來看的話,當自變項與調節變項都是類別變項時,其實調節變項之迴歸分析就等同於變異數分析(Analysis of variance, ANOVA),因此當交互作用達顯著時,必須進行單純主要效果(Simple main effect)或稱單純效果(Simple effect)。以剛剛的例子來說,雖然我們證明男性的迴歸係數跟女性的迴歸係數不同,但是如果這個時候你把男性樣本選取出來,然後只跑男性的減肥知識對減肥行為的迴歸係數,以圖3來看似乎男性的迴歸係數未達顯著水準(因為看起來很平),類似地也將女性樣本篩選出來,進而求出迴歸係數,但其實此時的兩個迴歸係數的顯著性都是錯誤的,必須進行調節分析的事後比較,亦即用單純效果來分析,然後我們才能確認就分別男性與女性而言,究竟減肥知識對減肥行為有無影響。有可能出現一種狀況,假設男性與女性個別來看,其減肥知識對減肥行為都有顯著影響,但交互作用項卻也達顯著水準,這代表女性的影響大於男性的影響(但兩者都顯著);關於調節分析之事後比較可參考Jaccard與Turrisi(2003)的專書說明。
我們已經瞭解調節變項的檢驗程序及兩點最重要的細節,現在介紹兩個很棒的網站,第一個是Jeremy Dawson的網頁(http://www.jeremydawson.co.uk/slopes.htm),上面有excel表可以下載,可直接畫出像圖3那樣子的調節分析示意圖;第二個要推薦給大家的是三位知名學者共同經營的網站(http://www.people.ku.edu/~preacher/interact/index.html),網站上面有各種不同迴歸分析的事後比較(simple effect)檢驗程序,包括HLM跟LCA分析等等,也可以應用「R」軟體自動畫出調節分析示意圖(不過不太美觀)。
Reference
Aiken, L. S., West, S. G., & Reno, R. R. (1991). Multiple regression: Testing and interpreting interactions. Newbury Park, CA: Sage.
Jaccard, J., & Turrisi, R. (2003). Interaction effects in multiple regression Thousand Oaks, CA: Sage.
Jaccard, J., Wan, C. K., & Turrisi, R. (1990). The detection and interpretation of interaction effects between continuous variables in multiple regression. Multivariate Behavioral Research, 25(4), 467-478.
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