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在先前的三篇文章已經有介紹存活分析（Survival analysis）的使用時機、如何繪製存活曲線圖（Kaplan-Meier curve），以及如何比較「組別」之間的存活曲線是否有顯著差異（Log-rank test），但當「自變項是連續變項」或「當自變項超過2個以上」的時候怎麼辦？在存活分析眾多方法之中，有一個最廣為應用的迴歸模型：即為Cox proportional hazard model。

 

 

要認識Cox proportional hazard model，就必須把它的統計式（也可說為迴歸方程式）列出來，下圖統計式所謂的「HR」就是「Hazard Ratio」，表示在某個時間點之下會發生event的風險比，因此HR(x)就是表示在給定X值的情況之下會發生event的風險比，所謂的X值指的就是自變項（Independent variable/Covariate）的數值，例如年齡50歲就是一個X。不過我們可以從最右側的公式發現，其實它跟Linear regression的迴歸方程式很相近，只是左邊的所要求的數值有差別。

 

 

 

 

由於目前還不是我們所要的迴歸方程式，因此我們繼續轉換公式，經過一系列的轉換，我們可發現現在迴歸方程式已經很好解釋了，最後一行的公式的等號左邊的log裡頭的東西代表「在某個時間點之下給定X值的event風險比」，等號右邊的log的東西表示「在某個時間點之下，當所有predictors為0時的危險比」，不過就跟所有的迴歸模式一樣，這就是截距項（Intercept），一般我們是不解釋截距項的，重點是右邊的迴歸方程式就跟Linear / Logistic regression一樣。  (我想要上統計課)

 

 

那麼迴歸係數數值如何解釋呢，假使說X1是連續變項（年齡），那麼年齡增加1歲時則危險比會變成Exp(β1)單位，因此也可以說增加1歲則危險比會增加Exp(β1)-1倍，不過需注意，如果年齡增加10歲那麼危險比會如何變化呢？這邊很容易會有同學搞錯，假設迴歸係數β=0.35，那麼Exp(0.35)=1.42，也就是說當年齡增加1歲時則風險比為原本的1.42倍（或者是說當年齡增加1歲時風險比增加了1.42-1=0.42倍），不過年齡增加10歲時的風險比可不是直接將10*1.42=14.2喔！而是Exp(10*β1)，也就是Exp(10*0.35)=33.1倍，而這個數字會剛好等於原本的Exp(0.35)的10次方！

 

 

也就是說在Cox model裡，增加1歲時的危險比為Exp(β1)，但增加n歲時的危險比是Exp(β1)ⁿ！這種風險比呈現加乘（multiplicative）性的效應，是跟Logit model一樣的。

以X2為例，X2=1代表男性，X2=0代表女性，此時的Exp(β1)就代表男性相對於女性的風險比，若HR顯著超過1則表示男性的風險比較高！

 

 

 

 

太好了，目前為止已經介紹了四篇關於Survival analysis的介紹文章，但其實要告訴大家，Survival analysis本身有很多的統計模式，像我們這一篇介紹的是最基礎的Cox model, 因此各位如果有興趣針對Survival analysis作研讀，在此推薦三本比較容易入門書（根據難易度排列，從簡單到難）

Singer, J. D., & Willett, J. B. (2003). Applied longitudinal data analysis: Modeling change and event occurrence New York, USA: Oxford University Press.

Kleinbaum, D. G., & Klein, M. (1996). Survival analysis: A self-learning text (2nd ed.). New York: Springer.

Hosmer, D. W., & Lemeshow, S. (1999). Applied survival analysis: Regression modeling of time to event data. NY, USA: John Wiley & Sons, Inc.