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有趣的「蒙提．霍爾問題」(或叫三門問題)

約20年前，在 美國NBC電視台
有一個由蒙提‧霍爾（ Monty Hall）主持的節目
叫做《 一 起 做 個 買 賣 》（ Let's make a deal）
在節目中，主持人讓來賓上台猜獎，獎品是一輛豪華汽車
台上有三扇關著的門，汽車藏在其中一扇門後
其他兩扇門後面是一隻山羊
假設你是已經獲選參加的來賓
你要上台挑選其中一扇門
希望能一舉猜中汽車在門後，便可以將車開回家
然而為了製造節目的效果和高潮
在你選好門之後，主持人暫不開門
由於他知道汽車在哪扇門後面
所以主持人就在你沒有選到的兩扇門中，選一扇有山羊的門打開
（因為現場沒被你選中的門中，至少會有一扇門後是隻山羊）
然後，主持人就問你：「您 要 改 變 您 的 選 擇 嗎 ？ 」
你可以堅持原來的選擇，也可以改選另一扇門
問題的關鍵是
「到 底 換 不 換 ？」
「換 不 換 到 底 有 什 麼 差 別 ？？」

這是個很有名的機率問題
因為它的答案與我們的直覺想法不同
大多數第一次聽到這問題的人會想
因為有一個裡面是山羊的門已經被主持人打開了
所以另外兩個門裡面，一個是山羊，一個是汽車
因此選中汽車的機率就是1/2，不管要換還是不換，都是1/2
所以換跟不換都一樣好
若再加上考慮
避免「本來選中汽車，而換了變沒中」的懊惱情形出現
大部分的人都會賓堅持原來的選擇─打死「不換」


然而這卻是錯誤的抉擇由於演化的結果我們的大腦很容易感
覺某人值不值得信任或有沒有在欺騙自己但是需要稍微計算
的思考卻仍常常不是我們大腦可以直覺判斷的

例如
天才數學家艾狄胥也曾對這問題栽過觔斗

有一次艾狄胥和一位叫法桑尼的朋友一同

造訪加州聖羅沙法桑尼便用這問題測試當

時已是機率大王的艾狄胥，對於機率的直

覺而令法桑尼訝異的是艾狄胥竟堅持換與

不換的機率都是1/2甚至對法桑尼的解釋甚

感不解而憤怒直到法桑尼利用電腦模擬，

艾狄胥才信服可見連數學天才都有被機率

法則戲弄的時候更何況是我們一般人
 
 



對這問題的答案
我們看看來自美國的瑪麗蓮‧莎凡（ Marilyn vos Savant ）的說法
瑪麗蓮在十歲時參加史比智力測驗（ Stanford－Binet Test）
智商高達228分
勘稱是「全世界最聰明的人」
之後，她的父母始終低調，想盡辦法遠離公眾
讓瑪麗蓮有一個正常的童年
直到1990年
44歲的瑪麗蓮正在《Parade》(展示)雜誌
主持一個名為『Ask Marilyn』的專欄
剛好有位讀者提出了這個當時電視台節目的猜獎問題
而瑪麗蓮的回答引起了一陣軒然大波
她斬釘截鐵的說「一 定 要 換」




因為她認為
換的話，猜中汽車的機率是2/3
堅持不換的話，猜中汽車的機率只有1/3
也就是說
換的話，猜中汽車的機率是堅持不換的2倍
沒想到卻招來數千封質疑和批評的信件


她的想法很直接
來賓一開始會隨機猜選某一扇門
就假設選的是1號門好了
這時汽車出現在1號門後的機率是1/3
而出現在2號和3號門後的機率總和則是2/3
也就是說
來賓一開始猜對的機會是1/3，猜錯的機會是2/3
她認為當主持人打開2 (或3 )號門的時候
原來汽車可能出現在2號和3號門後的這2/3機率
就自然而然的集中到未開的3 (或2 )號門後
因此來賓非換不可
如果不換，那表示來賓猜中的機率仍然是開始時的1/3

怎樣？！
瑪麗蓮的想法
你瞭解了嗎？

是不是很傷腦筋呢！

既然我們演化來的大腦功能
比較擅長圖像化的思考
就讓我簡單畫圖說明
好讓大家能夠一「目」瞭然

 

以上圖解
將門後的山羊圖案拿掉
僅標示門後有車的情況
由於汽車有可能出現在任何一扇門後
所以每扇門後出現汽車的機率是1/3
因此
若要將汽車出現在3扇門後的3種情形全部畫出
共要畫出3×3扇門
也就是這9扇門可將汽車出現在任一扇門後
而哪2扇門沒有汽車的所有情形表示出來
這在機率學上有個專有名詞叫做「樣本空間」
汽車在哪一扇門而不在另2扇門的每一種情形
稱為一種「樣本」
而所有可能「樣本」的集合便是「樣本空間」
也就是說
考慮本題各種情形時
譬如來賓先選任一扇門、之後主持人開某一扇門…等
各種情況出現的次數都要跟「樣本空間」
即全部的情況相比較
才能得出真正的「機率」
才不會直覺的犯下和天才數學家艾狄胥及一般大多數人一樣的錯誤
認為既然主持人已經打開了其中一扇門
那麼剩下的另外兩扇門裡面，祇有一扇有汽車
所以選中汽車的機率就是1/2
這就是沒有考量到原先3扇門所有情形的「樣本空間」所致

現在我們來看看圖解
假設我們任選的一道門是最右邊的門
也就是以紅線框選的門
就整個「樣本空間」而言
我們一開始猜對的機會是1/3，猜錯的機會是2/3
(若任選的是左邊或中間的門時，情況也一樣)
這時來看看樣本1的情形
當車子出現在左邊的門時
主持人便打開中間的門(我以打叉的藍線表示)
這時我們換門的話就猜中汽車了

同樣的道理
在樣本2的情形
當車子出現在中間門、主持人便打開右邊門
這時原先沒有猜中的我們
換門的話就一樣會猜中汽車

最後樣本3的情形就有點不同了
當車子出現在我們原先所猜的右邊門時
主持人便可任意打開左邊或中間其中一扇門(我以打叉的藍色虛線表示)
而這時我們換門的話
就會「不幸的」由原先猜中
變成沒猜中汽車了

但是
由本題所有情形的整個「樣本空間」來看
樣本3的情形發生機率是1/3
樣本1和樣本2的情形發生的機率是1/3+1/3=2/3
所以答案是「要換」
「不換」與「換」所猜中汽車的機率
是由1/3提高到2倍的2/3
而不祇是提高僅1倍半的1/2
當然有的時候
難免會有換錯的懊惱
但是
當你有不止1次的機會可以參加這種類似的猜獎時
你會知道「換」是比較有利的
因為換的話「平均」3次會贏2次

現在你應該「徹底」瞭解
這個答案看起來錯誤且違反直覺的問題了吧
而能不能進入你的深層記憶
就很難說了
至於要成為我們大腦直覺本能的判斷
則起碼也要經過數萬年的「文明環境」演化才行
也就是說你覺得
我們現有的「文明社會」能否維持數萬年呢？

撇開這個不說
至少你已「學習」到本題的一個基本概念
某些事件的發生機率
會隨著我們對線索的更加瞭解而改變
而且不是像事物表象及我們直覺以為的
機會一半一半、怎麼做都沒差或怎麼做都不會改變機率
起碼你已能「直覺」判斷以下這問題：

假設現在有10道門
裡面只有一道門有獎
你先選一道門之後
主持人就會打開其他8道沒有獎的門
那就只剩下你選的和主持人留下來的這兩道門
這個時候你「換不換」呢


我想你現在會「直覺」選 換 吧
但是
你換的話，中獎的機率可不是1/2
而是9/10 
也就是玩十次中9次
可不是機率一半一半的憑運氣
或是「該你的就是你的」以不變應萬變喔

轉貼自 http://tw.myblog.yahoo.com/easyandfunnymath-bybleu